Unidad 10 y 11: Derivadas y sus aplicaciones

Los problemas que dieron comienzo al cálculo infinitesimal se plantearon en la época clásica de la antigua Grecia en el siglo III a.C, pero no se encontraron métodos de resolución hasta veinte siglos después gracias a Isaac Newton con su cálculo de tangentes y el descubrimiento de un algoritmo para derivar; y G. Leibniz con su cálculo diferencial.

• Tasa de variación instantánea:  

Si f(x) es una función definida en [a, a+h] se define la TVI de f(x) en x=a como 

el resultado indica la derivada de la función en x=a. 

•  Función derivada: 

Si f es una función, definimos su función derivada f' como    

Ej: f(x) = X²

- Propiedades: 
 suma: (f + g)(x) = f'(x) + g'(x) ;  Resta: (f - g)(x) = f'(x) - g'(x) ;  Producto: (f x g)(x) = f'(x) x g(x) + f(x) x g'(x) ; Cociente: (f/g)(x) = [f'(x) x g(x) - f(x) x g'(x)] / (g(x))² ;  Regla de la cadena:  (f o g)(x) = f'(g(x)) x g'(x)  

•  Derivadas elementales:

                             

•  Aplicaciones:

1- Recta tangente a una función en un punto: Si f(x) es una función, entonces en x=a, f'(a) es la pendiente de la recta tangente a f(x) para x=a.
Ej: calcular la recta tangente a f(x)= 1/x en P(2, 1/2)

f(x)= 1/x ; f'(x)= -1x^-2 = -1/x²

si x= 2 entonces f'(2)= -1/4                y: mx + n 

                                                      y = -1/4x + n  

                                                    1/2 = -2/4 + n ;  n = 1  ; y: -1/4x + 1 

2- Representación gráfica: Si f(x) es una función se cumple: 
*Si f'(x) > 0 : f(x) es una función creciente*Si f'(x) < 0 : f(x) es una función decreciente
*Si f'(x) = 0 : f(x) tiene un extremo relativo (máximo, mínimo o punto de inflexión)
 *Si f''(x) > 0 : f(x) es cóncava
*Si f''(x) < 0 : f(x) es convexa
*Si f''(x) = 0 : f(x) tiene un extremo relativo
Ejs:

                                      
3- Problemas de optimización:  
*Buscar una función para el enunciado del problema (f(x))
* Encontar los extremos de la función 
*Interpretar los resultados
Ej: nte de la rec Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser de 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50€ para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.

C(x)= 50xy + 60xy +40(2x x 1 + 2y x 1)

C(x)= 110xy +80(x + y)

 9 = x x y x 1 ; y = 9/x

 C(x)= 110x(9/x) +80(x + 9/x)

C'(x)= 80(1 - (9/x²) ;   80(1 - (9/x²)= 0

1 - (9/x²)= 0 ;  x² = 9  

C''(x)= 80((9-2x)/ X⁴)>0

 x=3  y=3