Unidad 15: Probabilidad.

La idea de "Probabilidad" está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre S. Laplace en el siglo XVIII afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a el objeto más importante del conocimiento humano" e hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito. Otros grandes matemáticos fueron: G. Cardano (Fundamentos de la probabilidad), Pierre de Fermat ( Cálculo combinatorio), Augustus de Morgan (Leyes de Morgan) y demás.

• Operaciones con sucesos:

Se denomina conjunto de un experimento aleatorio (no se puede predecir el resultado) a cualquier subconjunto del espacio muestral.
 Ej: lanzar un dado de seis caras.
1- Unión:
A={1,2,3} B={2,4,6} ; AUB= {1,2,3,4,6}
2- Intersección:

A={1,2,3} B={2,4,6}   

3- Diferencia de sucesos:  A - B={1,3}  

4- Complementario:  A={1,2,3};  A'={4,5,6} / B={2,4,6} ; B'={1,3,5} 

5- Leyes de Morgan: 

 

• Probabiblidad:

*Frecuencia y probabilidad: Si A es un suceso y fn(A) es la frecuencia relativa para el suceso A al realizar el experimento n veces, entonces :

  Ley de los grandes números

- Ley de Laplace: Si A es un suceso en un experimento en el que todos los resultados son equiprobables, se cumple que 
                             P(A)= nºcasos favorables/nº casos posibles
Ej:  

                       

• Probabilidad de la unión: 

 Si A y B son sucesos incompatibles: P(AUB)= P(A) + P(B) 

Si Ay B son compatibles:  P(AUB)= P(A) + P(B) - PAB)

Ej:

                    

• Probabilidad condicionada:

 Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se denota por P(B/A), el cociente siguiente: 
                       
Ej:

                            

• Probabilidad compuesta: 

 Si A y B son dos sucesos, se cumple:
1- Si A y B son independientes:  P(AB)= P(A) x P(B)
2-  Si A y B son dependientes:  P(AB)= P(A) x P(B/A) o P(AB)= P(b) x P(A/B)
Ej: Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?                               

Ej:  Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

• Teorema de la probabilidad total:

 Sea A1, A2, ..., An un sistema completo de sucesos y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades de P(B/A), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la siguiente expresión: 
                P(B)= P(B/A1) x P(A1) + P(B/A2) x (P(A2) + ... + P(B/An) x P(An)

• Teorema de Bayes: 

 Este teorema establece que las probabilidades P(A/B) vienen dadas por la siguiente expresión:
 
Ej:

 

- Fuentes: www.wikipedia.org / www.lasmatemáticas.es / wwwbioestadística.uma.es / www.vitutor.com