Hoy en día conocemos las distribuciones de esta manera gracias a las excelentes aportaciones de Jacob Bernouilli (Distribución binomial), Abraham de Moivre (Distribución normal), Crl F. Gauss (Función de densidad de la distribución normal), y algunos más.
Variable aleatoria:
Es una aplicación definida en el espacio muestral, tal que a cada suceso le asigna un número real.
- Probabilidad: La probabilidad en las variables discretas se expresacomo Pi=( x=xi) - Media: Es la esperanza matemática. Fórmula general:
- Varianza: Fórmula general de la varianza y de la desviación típica:
Distribuciones discretas:
- Distribución de Bernouilli:Es aquella que solo tiene dos resuldados posibles, que son complementario entre sí, para un experimento. P= probabilidad de que ocurra el suceso A q= probabilidad de que no ocurra el suceso A; q= 1 - p
Parámetros:
Distribución binomial:
Es aquella que se mide al repetir un experimento de Bernouilli un número determinado, n, de veces. La probabilidad de x= r; r<n.
Parámetros:
Función de probabilidad de la distribución binomial
Distribuciones continuas:
- Función de densidad: Es una función que cumple que F(x)>0 para cualquier valor de x y que:
La probabilidad P(a < x < b) =
- Distribución normal: Si x es una variable continua, x es normal de media μ y desviación típicaσ.
- Tipificación de variables: (μ=0; σ=1) N(0,1);
Aproximación de binomial por la normal:
se puede aproximar por la normal cuando se cumpla que nxp>5 y nxq>5, entonces N(np,√npq )
La idea de "Probabilidad" está íntimamente ligada a la idea de azar y nos
ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o
analizar las encuestas. Pierre S. Laplace
en el siglo XVIII afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones
sobre juegos de azar haya llegado a el objeto más importante del
conocimiento humano" e hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Comprender y estudiar el azar es indispensable,
porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en
cualquier ámbito. Otros grandes matemáticos fueron: G. Cardano (Fundamentos de la probabilidad), Pierre de Fermat ( Cálculo combinatorio), Augustus de Morgan (Leyes de Morgan) y demás.
Operaciones con sucesos:
Se denomina conjunto de un experimento aleatorio (no se puede predecir el resultado) a cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej: lanzar un dado de seis caras. 1- Unión: A={1,2,3} B={2,4,6} ; AUB= {1,2,3,4,6}
2-Intersección:
*Frecuencia y probabilidad: Si A es un suceso y fn(A) es la frecuencia relativa para el suceso A al realizar el experimento n veces, entonces :
Ley de los grandes números
- Ley de Laplace: Si A es un suceso en un experimento en el que todos los resultados son equiprobables, se cumple que P(A)= nºcasos favorables/nº casos posibles Ej:
Probabilidad de la unión:
Si A y B son sucesos incompatibles: P(AUB)= P(A) + P(B)
Si Ay B son compatibles: P(AUB)= P(A) + P(B) - PAB)
Ej:
Probabilidad condicionada:
Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se denota por P(B/A), el cociente siguiente: Ej:
Probabilidad compuesta:
Si A y B son dos sucesos, se cumple: 1- Si A y B son independientes: P(AB)= P(A) x P(B) 2- Si A y B son dependientes: P(AB)= P(A) x P(B/A) o P(AB)= P(b) x P(A/B) Ej: Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Ej: Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Teorema de la probabilidad total:
Sea A1, A2, ..., An un sistema completo de sucesos y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades de P(B/A), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la siguiente expresión: P(B)= P(B/A1) x P(A1) + P(B/A2) x (P(A2) + ... + P(B/An) x P(An)
Teorema de Bayes:
Este teorema establece que las probabilidades P(A/B) vienen dadas por la siguiente expresión: Ej:
El estudio de los fenómenos aleatorios comenzó como una curiosodad matemática aplicable a los juegos de azar a mediados del siglo XV gracias a Luca Paciolo. Muchos fenómenos naturales están relacionados con otros que nos van ocurriendo en nuestra vida cotidiana, como la altitud y la presión atmosférica, los cuales se pueden representar mediante una función lineal (recta).
Estadística unidimensional:
Ej:
Moda (Mo)= 1 Rango (R)= 3 Mediana= 1
Ej:
Variables bidimensionales:
Ej:
Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo
(litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes
resultados:
1- Halla la covarianza, el coeficiente de correlación y el grado.
¿Cómo es la relación entre las dos variables? (X= media ritmética del parámetro x e Y= media del parámetro y).
r2=0,36
La correlación es positiva (directa), pero no es lineal completamente ya que no está muy proxima a uno, pero tampoco sería nula porque no se aproxima a cero. El coeficiente de determinación es bajo.
2- Deduce el consumo para 84 kW de potencia.
y - Y= (Sxy/S2x)(x - X) ; y - 9,15= 0,074(x - 84,16) ; y= 0,074x - 2,895
El cálculo de áreas ha sido uno de los objetivos de la matemática a lo largo de la historia. En el siglo III a.C.,Arquímedes ideó un método que consideraba el área de cualquier figura como una suma de infinitos rectángulos muy pequeños. Pero con este conpecto la humanidad no estaba muy de acuerdo así que tuvieronque esperar casi dos mil años hasta que Newton y Leibniz, en el siglo XVII, demostraron, basándose en las ideas de Arquímedes, que para calcular el área encerrada por una curva bastaba con "derivar al revés", es decir, calcular una integral. Este cálculo se usa para hallar áreas, longitudes o volúmenes y también para estudios científicos y tecnológicos.
Integral indefinida (primitiva):
Ej: f(x)= x3; f'(x)= 3x2entonces decimos que su integral es:
- Integrales elementales:
Ej:
*Propiedades:
Otras primitivas inmediatas:
Para poder calcularlas se realiza un cambio de variable: Ej:
Integral definida:
Si f(x) es una función definida en [a,b] su integral se llama integral definida de f(x). El área en [a,b] comprendida entre la función f(x) y el eje X :
Cuando calcula la integral de la función y despues sustituye los valores a y be y los resta se denomina Regla de Barrow.
Los problemas que dieron comienzo al cálculo infinitesimal se plantearon en la época clásica de la antigua Grecia en el siglo III a.C, pero no se encontraron métodos de resolución hasta veinte siglos después gracias a Isaac Newton con su cálculo de tangentes y el descubrimiento de un algoritmo para derivar; y G. Leibniz con su cálculo diferencial.
Tasa de variación instantánea:
Si f(x) es una función definida en [a, a+h] se define la TVI de f(x) en x=a como
el resultado indica la derivada de la función en x=a.
Función derivada:
Si f es una función, definimos su función derivada f' como
Ej: f(x) = X2
- Propiedades: suma: (f + g)(x) = f'(x) + g'(x) ; Resta: (f - g)(x) = f'(x) - g'(x) ; Producto: (f x g)(x) = f'(x) x g(x) + f(x) x g'(x) ; Cociente: (f/g)(x) = [f'(x) x g(x) - f(x) x g'(x)] / (g(x))2 ; Regla de la cadena: (f o g)(x) = f'(g(x)) x g'(x)
Derivadas elementales:
Aplicaciones:
1- Recta tangente a una función en un punto: Si f(x) es una función, entonces en x=a, f'(a) es la pendiente de la recta tangente a f(x) para x=a. Ej: calcular la recta tangente a f(x)= 1/x en P(2, 1/2)
f(x)= 1/x ; f'(x)= -1x-2 = -1/x2
si x= 2 entonces f'(2)= -1/4 y: mx + n
y = -1/4x + n
1/2 = -2/4 + n; n = 1 ;y: -1/4x + 1
2- Representación gráfica: Si f(x) es una función se cumple: *Si f'(x) > 0 : f(x) es una función creciente*Si f'(x) < 0 : f(x) es una función decreciente *Si f'(x) = 0 : f(x) tiene un extremo relativo (máximo, mínimo o punto de inflexión) *Si f''(x) > 0 : f(x) es cóncava *Si f''(x) < 0 : f(x) es convexa *Si f''(x) = 0 : f(x) tiene un extremo relativo Ejs:
3- Problemas de optimización: *Buscar una función para el enunciado del problema (f(x)) * Encontar los extremos de la función *Interpretar los resultados Ej: nte de la rec Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser de 9 m3, su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50€ para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.
El estudio de una función se realiza siguiendo estos pasos:
- Dominio e la función f.
- Asíntotas: Es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
- Puntos de corte con los ejes: En el eje X son todos los valores de x que cumplen que f(x)=0 y en el eje Y, es el valor y= f(0)
- Signo: Si X1, X2, ... Xn son puntos de corte con el eje X , el signo en (-∞,-x), (X1, X2), ( Xn, +∞) puede cambiar de un intervalo a otro. También se tienen en cuenta las asíntotas verticales, si las hay.
- Simetría: Pueden ser funciones pares (simétricos respecto al eje Y): f(x)= f(-x), funciones impares (simétricos respecto al origen): f(-x)= - f(x) o no tienen simetría.
Funciones polinómicas:
Son funciones del tipo f(x)= P(x) ; donde P(x) es un polinomio.
Su dominio son todos los reales; asíntotas no tienen; los puntos de corte con el eje X son las raíces de ese polinomio y con el eje Y es f(0); la simetría depende del polinomio.
También se tiene en cuenta el signo de a (ax2+ bx + c) para ver si la parábola es cóncava o convexa. Se calcula el eje de simetría ( -b/2a) y su vértice ( -b/2a, f(-b/2a)).
Ej: f(x)= x2 - 4
Funciones racionales:
Son funciones del tipo f(x)= P(x)/Q(x) ; P(x) y Q(x) son polinomios con el grado de Q(x) mayor o igual a 1.
Su dominio son todos los reales excepto las valores que hacen cero el denominador, es decir, R - { x / Q(x)= 0}.
Las asíntotas pueden ser verticales (valores que anulan el denominador), horizontales (siempre que P(x) y Q(x) tengan el mismo grado o que el grado de Q(x) sea mayor que el de P(x)) y oblicuas (si P(x) tiene un grado más que el polinomio Q(x)).
El punto de corte con el eje Y es f(0) y los puntos de corte con el eje X son las raíces del numerador.
La simetría puede ser par, impar o no tener (dependerá de cada función).
El sigo de la función se estudia en los tramos definidos por los puntos de corte con el eje X y los valores que no pertenecen al dominio.
Ej:
Funciones con radicales:
Una función es radical si la variable independiente aparece dentro de una raíz.
El dominio de la función se calcula imponiendo como condición que lo de dentro de la raíz debe de ser mayor o igual a cero. Los puntos de corte se calculan igualando a cero la función (Eje X) y calculando f(0) (Eje Y). Se calcula si tienen algún tipo de asíntotas y con estas y los puntos de corte se saca el signo. Y se localiza si posee algún tipo de simetría o ninguna.
Ej:
Funciones periódicas:
Una función f es periódica si existe un número t, período, que cumple que f( x + t)= f(x) para todo x perteneciente al dominio.
Ej:
Funciones exponenciales:
Si a pertenece a los reales a>0 y a es distinto de 0, una función exponencial es del tipo f(x)= ax
Su dominio es igual a R. El punto de corte con el eje Y es siempre el (0, 1) ya que cualquier número elevado a cero es 1.Y con el eje X no existen puntos de corte ya que la ecuación
ax= 0 no tiene solución. Solo tiene una asíntota horizontal en y= 0. Simetrías no tiene y el signo siempre es positivo.
Ej:
Funciones logarítmicas:
Si a pertenece a los números reales con a>0 y a distinto que 1, una función logarítmica es del tipo f(x)= loga x
Su dominio es siempre (0, + ∞).corta con el eje X en el (1, 0) y con el eje Y no corta. Tiene solo una asíntota vertical en x= 0
La función exponencial y la logarítmica, cuando tienen sus bases iguales, son inversas y se comprueba haciendo la composición de funciones y también gráficamente.
Ej:
Esta función representa a f(x)= e^x y a su inversa, f(x)= ln x, con el eje de simetría y= x.
Funciones trigonométricas:
- Función seno: f(x)= sen x
Su dominio son todos los reales, la Im(f)= [-1, 1]. Los puntos de corte con el eje X son todos aquellos valores que cumplen que sen x= 0 y el punto de corte con el eje Y es el (0, 0). Es una función periódica con t=.La simetría es impar.
- Función coseno: f(x)= cos x
Dom(f)= R y recorrido es [-1, 1]. Corta al eje Y en el puto (0, 1) y al eje X cuando la función se iguala a cero. Tiene el mismo período que la función f(x)= sen x. Está adelantada 90º( en radianes) de la función sen x. La simetría es par.
- Función tangente: f(x)= tg x
Dom(f)= R - {los valores que hacen cero el denominador ya que tan x= sen x/cos x} y Im(f)=[-1, 1]. Tiene asíntotas verticales en cada uno de los valores que anulan el denominador. Es una función con período t=.
Los puntos de corte con el eje X son todos aquellos que se calculan cuando tg x= 0 y el punto de corte con el eje Y es el (0, 0). Su simetría es impar.
.jpg)
.
