El blog de Matemáticas: Unidad 5: Geometría analítica plana.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, ya que forma parte del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. La geometría analítica se caracteriza por representar las figuras mediante ecuaciones.

Ecuaciones de la recta:

1- Ecuación vectorial:

Se necesita un punto A(a1,a2) y un vector v= ( v1,v2). Si P(x,y) es un punto cualquiera que pertenece a la recta, se cumple:

P= A + tv t pertenece a R

(x,y) = (a1,a2) + t(v1,v2)

Cuando necesitemos un punto de la recta lo único que debemos hacer es darle valores al parámetro, realizar el producto de un número por el vector y sumarle el ponto conocido A. Así, obtenemos un punto P.

2- Ecuación paramétrica:

Se necesita un punto A(a1,a2) y un vector v = ( v1,v2). Después de igualar la ecuación vectorial igualamos las coordenadas de la x con las x y las coordenadas y con las y.

X = a1 + tv1 t pertenece a R
y = a2 + tv2

3- Ecuación continua:
Para que existan las coordenadas del vector no puede ser ninguna cero (v1>0, v2>0). Punto A(a1,a2) y un vector v =( v1,v2).
Despejamos t de la paramétrica e igualamos t:

t= (x- a1) / v1 ;
t = (x- a2) / v2 ; (x- a1) / v1 = (x- a2) / v2

4- Ecuación general o implícita:
Si hay A(a1,a2), vector v = ( v1,v2). La ecuación general se expresa de la forma
Ax + By + C = 0 ; donde A,B,C son números conocidos.
Multiplicamos en cruz la ecuación continua:

v2(x - a1) = v1( y - a2)
v2x - v2a1 = v1y - v1a2
v2x - v1y + v2a1 - v1a2 = 0 ; A= v2 ; B= -v1 ; C= v2a1 - v1a2
v = (-B,A)

Ax + By + C = 0

*Otro método:

Ej: (2,5) A= v2 B= -v1
A= 5 B= - 2
5x - 2y + C = 0
A(-1,3) : 5*(-1) - 2*3 + C= 0
-5 -6 +C = 0
C = 11 ; 5x - 2y + 11 = 0

*Rectas paralelas a los ejes:

x = a ; v = (0,v2)

x - a = 0 : Forma general.

y = b ; u = (v1,0)

y - b = 0 : Forma general.

5- Ecuación normal de la recta:

r: Ax + By + C = 0
se cumple que n = (A,B) es perpendicular a r.
*Demostración: Si r: Ax + By + C = 0

v = (-B,A)
n = (A,B) n $\bullet$ v = -AB + AB = 0

P(p1,p2) es un punto de la recta conocido.
u = ( x- p1, y - p2) es un vector de la recta.
El punto (x,y) es un punto desconocido.
La ecuación normal se obtiene:
n = (A,B)

n $\bullet$ u = (A,B) * ( x- p1, y - p2) = A( x - p1) + B(y - p2)

La ecuación normal canónica es:

6- Ecuación explícita:

Se obtiene la y de la ecuación general, es decir,
Ax + By + C = 0
By = - Ax - C

y =(-A/B)x - C/B ; -A/B = m ; -C/B = n

y = mx + n

7- Ecuación Pto-pendiente:

A partir de la continua sacamos:

v1(y - a2) = v2( x - a1)
(y - a2) = v2/v1( x - a1)

y -a2 = m(x - a1)

v2/v1 = m = tg α

8- Ecuación segmentaria:

Q(0,q) y P(p,0)

x/p + y/z = 1

Ej: x/4 + y/8 = 1.

Posición relativa de dos rectas:

- 1º Secantes:

1- Comparar los vectores: Si los vectores no son proporcionales.

u ≠ tv para cualquier t(parámetro)

2- Comparar las pendientes: Si tienen distinta pendiente.

r1: m r2: m'

m ≠ m'

3- Comparar las ecuaciones de la recta:

r1: Ax + By + C =0 r2: A'x + B'y + C' =0

(A/A') ≠ (B/B')

- 2º Y 3º Paralelas y coincidentes:

1- Comparar los vectores:Si los vectores son proporcionales.
Si existe t tal que u = tv
Aunque al comparar dos rectas el parámetro no debe ser igual aunque cumpla la anterior condición porque sino serían coincidentes.
2- Comparar las pendientes: Si tienen la misma pendiente. m = m'

3- Comparar las ecuaciones de la recta:

r1: Ax + By + C =0 r2: A'x + B'y + C' =0

(A/A') = (B/B') ≠ (C/C')

1- Comparar los vectores:Si los vectores son proporcionales.

u = tv para cualquier t

2- Comparar las pendientes: Si tienen la misma pendiente. m = m'

3- Comparar las ecuaciones de la recta:

r1: Ax + By + C =0 r2: A'x + B'y + C' =0

A/A') = (B/B') = (C/C')

- Haz de rectas secantes:

Se llama haz de rectas secantes con vértice P(x,y) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por dicho punto.

La ecuación de cualquier recta del haz es: y - b = m(x - a)

donde m es un parámetro que puede tomar cualquier valor real y también representa la pendiente de cada recta.

La ecuación del haz es: Ax + By + C + t( A'x + B'y + C' ) = 0

donde t es el parámetro que puede tener cualquier valor real, pero que no representa, en este caso, la pendiente.

- Haz de rectas paralelas:

Se denomina haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0, al conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a dicha recta.

La ecuación de este haz es: Ax + By + t = 0 ; donde t es un parámetro que pertenece a R.

Distancia entre puntos y rectas:

1- Distancia entre dos puntos:

Ej:

d(A,B) = √( 2 -(-3))² + (-4 - 2)² = √61

2- Distancia entre un punto y una recta:

La distancia entre un punto y una recta se entiendo como la distancia mínima entre ambos, es decir, la recta perpendicular a r: Ax + By + C = 0 y que pasa por el punto P(x1,y1). La fórmula es:

3- Distancia entre dos rectas:

d(r,s) = 0 en rectas secantes.

d(r,s) = 0 en rectas coincidentes.

a: Ax + By + C = 0 ; b: A'x + B'y + C' = 0 en rectas paralelas.

Ángulo entre dos rectas:

Se denomina ángulo formado por dos rectas al menor de los ángulos que determinan ambas rectas.

1º A partir de sus vectores directores o normales:

Si u y v son vectores directores.

2º A partir de la pendiente:

ms = tg α2 mr = tg α1

tg α = tg (α2 - α1) = (tg α2 - tg α1) / (1 + tg α2 *tg α1)

tg α = | (ms - mr )| / (1 + ms*mr)

A partir de aquí se despeja con la arctg del resultado.

*Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90º. Sus pendientes son inversas y opuestas.

r es perpendicular a s : mr = -1 / ms

Simetrías:

1- Simetría central: Simetría respecto un punto.

Dado un punto fijo O llamado centro de la simetría, los puntos P y P' son simétricos respecto de O cuando O es el punto medio del segmento de extremos P y P'.

2- Simetría axial: Simetría respecto una recta.

Dada una recta r llamada eje de simetría los puntos A y A' son simétricos en la simetría axial de eje r cuando el segmento AA' es perpendicular a L y también el punto de corte de este segmento con el eje es el punto medio M.