época clásica.
Su significado etimológico es "la medición de los triángulos". Generalmente, la trigonometría se basa en el estudio de las razones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tg), cosecante (cosec), secante(sec) y cotangente (cotg).
Posee numerosas aplicaciones como las técnicas de triangulación, en sistemas de navegación por satélites, en la medición de distancias entre puntos geográficos, etc.
Los antiguos egipcios, ya nombrados, y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades pre-helénica desconocían el significado de la medida de un ángulo y por eso, ellos los estudiaron con sus medidas en un campo denominado "trilaterometría" .
Un ejemplo de ésto es el Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes que contiene un problema relacionado con la trigonometría.
La solución es la relación entre la mitad del lado de la base a su altura, es decir, es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.
- Las razones trigonométricas:
Normalmente se utilizan las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente, y las inversas, no suelen emplearse.
- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera:
- Primer cuadrante:
*x = alfa
sen x = +
cos x = +
tg x = +
- Segundo cuadrante:
sen x = +
cos x = -
tg x = -
- Reducción al primer cuadrante:
sen x = sen (180º - x)
cos x = - cos ( 180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
- Tercer cuadrante:
sen = -
cos = -
tg = +
- Reducción al primer cuadrante:
sen x = - sen ( x - 180º)
cos x = - cos ( x - 180º)
tg x = tg ( x - 180º)
- Cuarto cuadrante:
sen = -
cos = +
tg = -
- Reducción al primer cuadrante:
sen x = - sen (360º - x)
cos x = cos ( 360º - x)
tg x = - tg ( 360º - x)
sen 0º = 0 sen 90º = 1 sen 180º = 0 sen 270º = -1
cos 0º = 1 cos 90º = 0 cos 180º = -1 cos 270º = 0
tg 0º = 0 tg 90º = "No existe" tg 180º = 0 tg 270º = "No
existe"
- Relaciones trigonométricas:
sen ² x + cos ² x = 1 : Fórmula fundamental de la trigonometría.
1 + tg ² x = sec ² x Se obtiene de dividir la fórmula anterior entre "cos ² x"
1 + cotg ² x = cosec ² x Se obtiene de dividir la fórmula fundamental entre "sen ² x"
- Fórmulas para el ángulo suma:
sen (α + β) = sen α x cos β + cos α x sen β
cos (α + β) = cos α x cos β + sen α x sen β
tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α x tg β)
- Fórmulas para el ángulo diferencia:
sen (α - β) = sen α x cos β - cos α x sen β
cos (α - β) = cos α x cos β + sen α x sen β
tg (α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α x tg β)
- Razones del ángulo doble:
sen 2α = 2 x sen α x cos α
cos 2α = cos² α - sen² α
tg 2α = (2 x tg α) / ( 1 - tg² α)
- Razones del ángulo mitad:
sen (α/2) = √(1 - cos α)/2
cos (α/2) = √(1 + cos α)/2
tg ( α/2) = √(1- cosα) / ( 1 + cosα)
- Transformación de sumas en productos:
- Ecuaciones trigonométricas:
En dichas ecuaciones se intentará poner un mismo ángulo e intentar también tener las mismas razones trigonométricas. Se hacen en presencia de las cuatro circunferencias para poder sacar las posibles soluciones dependiendo de en que cuadrante nos encontremos (signos). Se expresan con "k" (parámetro) para sumarle vueltas y así tener todas las soluciones ( infinitas) y k pertenece z.
Cuando son ecuaciones simples se suelen resolver con la arcsen, arctg o arccos.
- Teorema del seno, coseno y Pitágoras:
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