El blog de Matemáticas: Unidad 4: Vectores.

Un vector es un segmento orientado que tiene un origen (punto de aplicación) y un extremo.Está compuesto por un módulo o longitud (> 0), una dirección (es la recta en la que se encuentra el vector) y un sentido que va indicado por la flecha.

Ej:

Módulo: longitud del segmento AB.

Origen: Punto A.

Extremo: Punto B.

Dirección: La de la recta que lo contiene.

Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Las magnitudes vectoriales son las que se caracterizan por una cantidad y una dirección, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

Tipos de vectores:

1- Vectores fijos: Posee una determinada posición, por lo que, no se pueden mover. Tiene su origen en el punto A y su extremo en B.

2- Vectores equipolentes: Son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

3- Vectores libres: Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí, es decir, éstos tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Por ejemplo: un vector fijo y todos sus equipolentes.

Operaciones con vectores:

1- Suma:

Para sumar dos vectores libres

se seleccionan dos vectores representantes que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Método del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores que tienen su punto de aplicación común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los dos vectores.

2- Resta:

La recta de dos vectores libres

se lleva acabo colocando un vector

y en su extremo se coloca -

(opuesto).

3- Producto de un número por un vector:

Dados un vector libre vector

del plano y un número real k, se llama producto del número real k por un vector que tiene de módulo |k| | vector

|, la dirección del vector y el sentido de vector

si k es positivo, y el opuesto si k es negativo. El resultado de todas los operaciones son un vector.

Todos los vectores con la suma y el producto por un número forman un espacio vectorial.

La base canónica:

Ej:

Cualquier vector del plano se puede poner
como combinación lineal de los vectores

.

En este ejemplo, se expresaría como vector

= 5

+ 4

y sus coordenadas serían: (5,4).

1- Cálculo de las coordenadas de un vector a partir de sus extremos:

Por ejemplo, vamos a calculas las coordenadas del vector a:
Se calcula restando la coordenada x del extremo (punta de la flecha) menos la coordenada x del origen, y la coordenada y del extremo menos la coordenada y del origen, es decir, a = ( 3-(-2), 5-2) = ( 5,3)

Operaciones con coordenadas:

1- Suma o resta:

Cogemos dos vectores anteriores, como por ejemplo, el vector a =(5,3) y b =(0,-3).

a + b = ( a1 + b1, a2 + b2) = ( 5 + 0, 3 + (-3) ) = (5,0)

a + (-b) = ( a1 + (-b1), a2 + (-b2)) = ( 5 - 0, 3 - (-3)) = (5, 6)

2- Módulo:

|AB| = √x² + y² | AB| >0

Ej: √9+2² = √13u

3- Argumento:

El ángulo que forma el vector con el eje es el argumento, es decir, α.

Tg α = b/a

*Hay que tener en cuenta el cuadrante en el que estamos trabajando para poner el signo que le corresponde.

4- Paso de coordenadas a módulo-argumento:

Ej:

= (4,3) : | vector

| = 5

α = arctg (3/4) = 36,8º

*Si el vector estuviese en el tercer cuadrante, posiblemente, la calculadora nos de el resultado positivo en el primer cuadrante, pero estaría mal porque deberíamos pasarlo al tercer cuadrante que es donde se encuentra el vector (180º + α ).

Producto escalar:

son dos vectores. El producto escalar se define

1- Con coordenadas:

Ej:

A =(2,5) 2i + 5j

B =(-1,3) -i + 3j

A $\bullet$ B = (2i + 5j) * (-i + 3j) = 2*(-1)[i * i] + 2*3[i * j] + 5*(-1)[j * i] + 5*3[j * j] = -2 + 0 + 0 + 15 = 13

[i * i] = |i||i| cos (i,i) = 1*1 * cos 0º = 1

[i * j] = |i||j| cos (i,j) = 1*1 * cos 90º = 0

[j* i] = |j||i| cos (j,i) = 1*1 * cos 90º = 0

[j * j] = |j||j| cos (j,j) = 1*1 * cos 0º = 1

2- Proyección de A sobre B:

Fórmula: (A $\bullet$ B) / |B|

3- Ángulo de dos vectores:

Se obtiene despejando el coseno de la fórmula del producto escalar. Pero calculando el coseno no basta, después se calcula el arccos y obtenemos el ángulo(s).