Unidad 8: Funciones, límites y continuidad.

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X un único valor y de un conjunto Y. La x se llama variable independiente y la y, variable dependiente, ya que su valor depende del que tome la x. El conjunto X se denomina dominio de f, Dom(f), y al conjunto Y se le denomina como imagen o recorrido de f, Im(f).

• Operaciones con funciones:

Tenemos dos funciones f(x) y g(x):

- Suma y resta: (f + g)(x)= f(x) + g(x)         (f - g)(x)= f(x) - g(x)  

Ej: f(x)= 2x + 1 ; g(x)= 3x

(f + g)(x)= 2x + 1 + 3x= 5x + 1     (f - g)(x)= 2x + 1 - (3x)= -x + 1

- Producto: (f x g) (x)= f(x) x g(x)

Ej: (f x g)(x)= (2x + 1) x (3x)= 6x2 + 3x

- Cociente: (f/g)(x)= f(x)/g(x) ; g(x) no puede ser cero.

- Composición de funciones: (f o g)(x)= f(g(x))     (g o f)(x)= g(f(x))

Ej: (f o g)(x)= 2(3x) + 1= 6x + 1

- Función inversa: Si f(x) es una función, g(x) es inversa de f(x) si se cumple que 

                                    (f o g)(x)=(g o f)(x)= x (identidad)

Ej: 

f(x)= 2x + 1 g(x)= (x - 1)/2 son inversas.

Comp: 

(f o g)(x)= 2((x - 1)/2) + 1 = x - 1 + 1= x

(g o f)(x)= (2x + 1 - 1)/2 = 2x/2 = x 

• Límite de una función en un punto: 

El límite de la función en un punto x= h, es el valor al que se aproxima la función cuando la x se va acercando al punto x= h, es decir, el valor al que tiende la función cuando x tiende a h.

Ej: el límite de f(x)= x² en el punto x= 2.

Cuando realizamos una tabla de valores en la que damos valores a x próximos a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la función se aproxima a 4. Entonces esto quiere decir que sus límites laterales se acercan a un mismo valor, por lo que, el límite de la función cuando x tiende a 2 si existe.

• Límites en el infinito:

Es cuando en el límite de una función la x tiende a más infinito o menos infinito.

Ej:

• Límites infinitos: 

Una función tiene por límite  +∞ o  -∞ cuando x tiene a un valor a, si cada vez que la x se vaya acercando a dicho valor la y vaya tomando valores muy grandes  o muy pequeños.

Ej: f(x)= 1/x

lim f(x)= -∞                      lim f(x)= +∞

x  0-                                           x  0+    

• Cálculo de límites: 

Cuando calculamos los límites podemos encontrar dos tipos de resultados: 

- Límites determinados: cuando el resultado pertenece a R.

Ej:        

-Límites indeterminados: son aquellos que dan expresiones que no presentan ningún sentido en R, son las llamadas indeterminaciones. Tipos:

Otro tipo de indeterminación es K/0

                                              

• Asíntotas:

Hay tres tipos de asíntotas:

- Verticales: Una función tiene una asíntota vertical x= k si se cumple que los límites laterales de esa función cuando x tiene a k se aproximan al infinito.

- Horizontales: Una función tiene una asíntota horizontal y= h si se cumple que el límite de la función cuando x tiende a  +/- ∞ es igual a h.

- Oblicuas: Si la recta y= mx + n cumple que cuando el límite de (f(x) - (mx + n) tiende a +/- ∞ da cero es una asíntota oblicua.

• Continuidad de funciones:

- Para que f(x) sea continua en x= a:

1- Exista la función en el punto (f(a)).

2- Exista el límite de loa función en el punto.

3- Que f(a)= límite de f(x) cuando x tiende a "a".

- Clases de discontinuidades:

1- Discontinuidad inevitable: salta finito y salto infinito.

2- Discontinuidad evitable: cuando el límite de f(x) cuando x tiende a "a" es distinto de f(a).

• Sucesiones:

Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4 ...}.

                                                an = f(x)

lim an = l

 x->n

Si an se aproxima a l  n toma valores cada vez más grandes.

Si l pertenece a R se dice que an es convergente y si l = +/- ∞ se dice que an es divergente.

Las sucesiones pueden estar acotadas superior e inferiormente.

• El número e: