Unidad 9: Funciones elementales.

• Estudio de una función:

El estudio de una función se realiza siguiendo estos pasos:

- Dominio e la función f.

- Asíntotas: Es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función. Pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.

- Puntos de corte con los ejes: En el eje X son todos los valores de x que cumplen que f(x)=0 y en el eje Y, es el valor y= f(0)

- Signo: Si X1, X2, ... Xn son puntos de corte con el eje X , el signo en (-∞,-x), (X1, X2), ( Xn, +∞) puede cambiar de un intervalo a otro. También se tienen en cuenta las asíntotas verticales, si las hay.

- Simetría: Pueden ser funciones pares (simétricos respecto al eje Y): f(x)= f(-x), funciones impares (simétricos respecto al origen): f(-x)= - f(x) o no tienen simetría.

• Funciones polinómicas:

Son funciones del tipo f(x)= P(x) ; donde P(x) es un polinomio. 

Su dominio son todos los reales; asíntotas no tienen; los puntos de corte con el eje X son las raíces de ese polinomio y con el eje Y es f(0); la simetría depende del polinomio.

También se tiene en cuenta el signo de a (ax2 + bx + c) para ver si la parábola es cóncava o convexa. Se calcula el eje de simetría ( -b/2a) y su vértice ( -b/2a, f(-b/2a)).

Ej: f(x)= x2 - 4

•  Funciones racionales:

Son funciones del tipo f(x)= P(x)/Q(x) ; P(x) y Q(x) son polinomios con el grado de Q(x) mayor o igual a 1.

Su dominio son todos los reales excepto las valores que hacen cero el denominador, es decir, R - { x / Q(x)= 0}. 

Las asíntotas pueden ser verticales (valores que anulan el denominador), horizontales (siempre que P(x) y Q(x) tengan el mismo grado o que el grado de Q(x) sea mayor que el de  P(x)) y oblicuas (si P(x) tiene un grado más que el polinomio Q(x)).

El punto de corte con el eje Y es f(0) y los puntos de corte con el eje X son las raíces del numerador.

La simetría puede ser par, impar o no tener (dependerá de cada función).

El sigo de la función se estudia en los tramos definidos por los puntos de corte con el eje X y los valores que no pertenecen al dominio.

Ej:

• Funciones con radicales:

Una función es radical si la variable independiente aparece dentro de una raíz.

El dominio de la función se calcula imponiendo como condición que lo de dentro de la raíz debe de ser mayor o igual a cero. Los puntos de corte se calculan igualando a cero la función (Eje X) y calculando f(0) (Eje Y). Se calcula si tienen algún tipo de asíntotas y con estas y los puntos de corte se saca el signo. Y se localiza si posee algún tipo de simetría o ninguna. 

Ej:

• Funciones periódicas:

Una función f es periódica si existe un número t, período, que cumple  que f( x + t)= f(x) para todo x perteneciente al dominio.

Ej:

• Funciones exponenciales:

Si a pertenece a los reales a>0 y a es distinto de 0, una función exponencial es del tipo f(x)= ax

Su dominio es igual a R. El punto de corte con el eje Y es siempre el (0, 1) ya que cualquier número elevado a cero es 1.Y con el eje X no existen puntos de corte ya que la ecuación

 ax = 0 no tiene solución. Solo tiene una asíntota horizontal en y= 0. Simetrías no tiene y el signo siempre es positivo. 

Ej:

• Funciones logarítmicas:

Si a pertenece a los números reales con a>0 y a distinto que 1, una función logarítmica es del tipo f(x)= loga x

Su dominio es siempre (0, + ∞).corta con el eje X en el (1, 0) y con el eje Y no corta. Tiene solo una asíntota vertical en x= 0

La función exponencial y la logarítmica, cuando tienen sus bases iguales, son inversas y se comprueba haciendo la composición de funciones y también gráficamente.

Ej:

 

Esta función representa a f(x)= e^x y a su inversa, f(x)= ln x, con el eje de simetría y= x.

• Funciones trigonométricas:

- Función seno: f(x)= sen x

Su dominio son todos los reales, la Im(f)= [-1, 1]. Los puntos de corte con el eje X son todos aquellos valores que cumplen que sen x= 0 y el punto de corte con el eje Y es el (0, 0). Es una función periódica con t=.La simetría es impar.

- Función coseno: f(x)= cos x

Dom(f)= R y recorrido es [-1, 1]. Corta al eje Y en el puto (0, 1) y al eje X cuando la función se iguala a cero. Tiene el mismo período que la función f(x)= sen x. Está adelantada 90º( en radianes) de la función sen x. La simetría es par.

- Función tangente: f(x)= tg x

Dom(f)= R - {los valores que hacen cero el denominador ya que tan x= sen x/cos x} y Im(f)=[-1, 1]. Tiene asíntotas verticales en cada uno de los valores que anulan el denominador. Es una función con período t=.

Los puntos de corte con el eje X son todos aquellos que se calculan cuando tg x= 0 y el punto de corte con el eje Y es el (0, 0). Su simetría es impar.

• Traslación y dilatación de funciones: 

Unidad 8: Funciones, límites y continuidad.

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X un único valor y de un conjunto Y. La x se llama variable independiente y la y, variable dependiente, ya que su valor depende del que tome la x. El conjunto X se denomina dominio de f, Dom(f), y al conjunto Y se le denomina como imagen o recorrido de f, Im(f).

• Operaciones con funciones:

Tenemos dos funciones f(x) y g(x):

- Suma y resta: (f + g)(x)= f(x) + g(x)         (f - g)(x)= f(x) - g(x)  

Ej: f(x)= 2x + 1 ; g(x)= 3x

(f + g)(x)= 2x + 1 + 3x= 5x + 1     (f - g)(x)= 2x + 1 - (3x)= -x + 1

- Producto: (f x g) (x)= f(x) x g(x)

Ej: (f x g)(x)= (2x + 1) x (3x)= 6x2 + 3x

- Cociente: (f/g)(x)= f(x)/g(x) ; g(x) no puede ser cero.

- Composición de funciones: (f o g)(x)= f(g(x))     (g o f)(x)= g(f(x))

Ej: (f o g)(x)= 2(3x) + 1= 6x + 1

- Función inversa: Si f(x) es una función, g(x) es inversa de f(x) si se cumple que 

                                    (f o g)(x)=(g o f)(x)= x (identidad)

Ej: 

f(x)= 2x + 1 g(x)= (x - 1)/2 son inversas.

Comp: 

(f o g)(x)= 2((x - 1)/2) + 1 = x - 1 + 1= x

(g o f)(x)= (2x + 1 - 1)/2 = 2x/2 = x 

• Límite de una función en un punto: 

El límite de la función en un punto x= h, es el valor al que se aproxima la función cuando la x se va acercando al punto x= h, es decir, el valor al que tiende la función cuando x tiende a h.

Ej: el límite de f(x)= x² en el punto x= 2.

Cuando realizamos una tabla de valores en la que damos valores a x próximos a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la función se aproxima a 4. Entonces esto quiere decir que sus límites laterales se acercan a un mismo valor, por lo que, el límite de la función cuando x tiende a 2 si existe.

• Límites en el infinito:

Es cuando en el límite de una función la x tiende a más infinito o menos infinito.

Ej:

• Límites infinitos: 

Una función tiene por límite  +∞ o  -∞ cuando x tiene a un valor a, si cada vez que la x se vaya acercando a dicho valor la y vaya tomando valores muy grandes  o muy pequeños.

Ej: f(x)= 1/x

lim f(x)= -∞                      lim f(x)= +∞

x  0-                                           x  0+    

• Cálculo de límites: 

Cuando calculamos los límites podemos encontrar dos tipos de resultados: 

- Límites determinados: cuando el resultado pertenece a R.

Ej:        

-Límites indeterminados: son aquellos que dan expresiones que no presentan ningún sentido en R, son las llamadas indeterminaciones. Tipos:

Otro tipo de indeterminación es K/0

                                              

• Asíntotas:

Hay tres tipos de asíntotas:

- Verticales: Una función tiene una asíntota vertical x= k si se cumple que los límites laterales de esa función cuando x tiene a k se aproximan al infinito.

- Horizontales: Una función tiene una asíntota horizontal y= h si se cumple que el límite de la función cuando x tiende a  +/- ∞ es igual a h.

- Oblicuas: Si la recta y= mx + n cumple que cuando el límite de (f(x) - (mx + n) tiende a +/- ∞ da cero es una asíntota oblicua.

• Continuidad de funciones:

- Para que f(x) sea continua en x= a:

1- Exista la función en el punto (f(a)).

2- Exista el límite de loa función en el punto.

3- Que f(a)= límite de f(x) cuando x tiende a "a".

- Clases de discontinuidades:

1- Discontinuidad inevitable: salta finito y salto infinito.

2- Discontinuidad evitable: cuando el límite de f(x) cuando x tiende a "a" es distinto de f(a).

• Sucesiones:

Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4 ...}.

                                                an = f(x)

lim an = l

 x->n

Si an se aproxima a l  n toma valores cada vez más grandes.

Si l pertenece a R se dice que an es convergente y si l = +/- ∞ se dice que an es divergente.

Las sucesiones pueden estar acotadas superior e inferiormente.

• El número e:

Unidad 7: Números complejos.

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano G. Cardano (Siglo XVI) quien encontró la formula para resolver las ecuaciones cúbicas. El termino “numero complejo” fue introducido por el gran matemático alemán C.F. Gauss (siglo XVIII-XIX) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no eclidiana, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.                

 Un número complejo es aquel que describe la suma de un número real y un número imaginario, como por ejemplo a + bi ; donde a y b son números reales e i= √-1. Ej: 1 + 3i ; 5 - 2i; 5i ( imaginario puro). Las raíces de números negativos no tenía solución el los R, pero en los C si la tienen, como √-3= √3i. 

                                         z = a + bi ; Forma binómica

Al componente a se le denomina como parte real (Re(z))y el componente b es la parte imaginaria (Im(z)). Dos números complejos son iguales si sus partes real e imaginaria coinciden, es decir, z=a + bi es igual a z'=a' + b'i si a=a' y b=b'.

Ej: z = 2 + 5i y z' = 2 + 5i son iguales.

• Conjugado y opuesto de un número complejo:

El conjugado de un número complejo es el mismo, pero su parte imaginaria con signo contrario. Se expresa como z.

Ej: z = 3 + 4i    ;    z= 3 - 4i

El opuesto es aquel número complejo cambiado de signo, es decir, si z= a + bi ; -z= -a - bi.

Ej: op(3 - 2i)= -3 + 2

• Módulo de un complejo:

El módulo de un complejo se define como:  

Ej: 3 + 4i ;  |z| = 5.

• Representación gráfica: Plano complejo.

Si tomamos como ejemplo z = 2 + 3i, si afijo sería (2,3); las coordenadas. Su módulo sería la distancia desde el afijo hasta el (0,0).

• Operaciones con números complejos:

- Suma: Si z= a + bi y z'= a' + b'i se define como z + z'= (a + a') + (b + b')i

Ej: (2 + i) + (5 - 3i) = 7 - 2i

- Resta: Si z= a + bi y z'= a' + b'i se define como z - z'= (a - a') + (b - b')i

                                                                                            

- Producto:Si z= a + bi y z'= a' + b'i definimos la multiplicación como

               z x z= (a + bi)(a' + b'i) = (aa' - bb') + (ba' + ab')i

Ej: (7 - 4i)(2 + 3i) = (14 + 12) + (21 - 8)i = 26 + 13i

- Cociente:Si  z= a + bi, el inverso es z^- = 1/z
z^-1 = (a - bi) / (a² + b²)

 - Potencias de i:

i⁰= 1         i⁴= 1         

i¹= i          i⁵= i

i²= -1        i⁶= -1

i³= -i         ...

Ej: i^{342,se realiza haciendo la división del exponente entre cuatro (siempre). Cuando obtenemos el resto, elevamos a i a dicho número y luego consultamos el resultado en la tabla anterior.Por lo tanto,} i^{342 =} i²= -1.

• Forma polar de un número complejo:

Si z= a + bi es un número complejo con |z|=r y argumento α=tg a/b, entonces z se puede poner como z=r_α.

- Paso de  forma polar a forma binómica:

Ej:  2_30º

Re(z): cos 30º= Re(z)/2    ;  Re(z)= 2 x cos 30º

Im(z): sen 30º= Im(z)/2    ;  Im(z)= 2 x sen 30º

z= 2 x cos 30º + (2 x sen 30º)i : Forma trigonométrica

z= 2(cos30º + sen30ºi)

z= 2(√3/2 + 1/2i)      z= √3 + i

• Operaciones en forma polar:

Las operaciones que se realizan en forma polar son:

- Producto:

Ej: z= 2_30º       z x z'= (2x3)15+30 =6_45º

     z'= 3_15º

- Cociente:

Ej: z= 2_30º       z / z'= (2/3)15-30 =(2/3)_15º

     z'= 3_15º

- Potencia:

Ej:z4= 2⁴30ºx4 =16_120º

• Raíces de complejos en forma polar:

Ej:3√8_45º : 2_15º ;  2_120º ;  2_255º

                                       

• Raíces de un polinomio:

 - Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio de grado n tiene n raíces en C.

Ej: 2x³ + 14x² + 32x + 20 = 0

Sacamos por Ruffini la primera raíz x=-1y así obtenemos un polinomio de 2º grado que se resuelve mediante la fórmula general. De esta manera, se obtienen las dos raíces restantes, que son: x= -3 - 2i ; x= -3 + 2i (son conjugados si tienen coeficientes reales; propiedad de la conjugación).