Unidad 5: Geometría analítica plana.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. 
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, ya que forma parte del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones. La geometría analítica se caracteriza por representar las figuras mediante ecuaciones.

• Ecuaciones de la recta:

 1- Ecuación vectorial:

Se necesita un punto A(a1,a2) y un vector v= ( v1,v2). Si P(x,y) es un punto cualquiera que pertenece a la recta, se cumple:

         

                             P= A + tv      t pertenece a R

                             (x,y) = (a1,a2) + t(v1,v2)

Cuando necesitemos un punto de la recta lo único que debemos hacer es darle valores al parámetro, realizar el producto de un número por el vector y sumarle el ponto conocido A. Así, obtenemos un punto P.

                         

 2- Ecuación paramétrica:

Se necesita un punto A(a1,a2) y un vector v = ( v1,v2). Después de igualar la ecuación vectorial igualamos las coordenadas de la x con las x y las coordenadas y con las y. 

X = a1 + tv1                  t pertenece a R
y = a2 + tv2

 3- Ecuación continua: 
Para que existan las coordenadas del vector no puede ser ninguna cero (v1>0, v2>0). Punto A(a1,a2) y un vector v =( v1,v2).
Despejamos t de la paramétrica e igualamos t:


 t= (x- a1) / v1     ; 
 t = (x- a2) / v2    ;                          (x- a1) / v1 = (x- a2) / v2

 4- Ecuación general o implícita:
Si hay A(a1,a2), vector v = ( v1,v2). La ecuación general se expresa de la forma
Ax + By + C = 0 ; donde A,B,C son números conocidos.
Multiplicamos en cruz la ecuación continua:
  
  v2(x - a1) = v1( y - a2)
  v2x - v2a1 = v1y - v1a2
   v2x - v1y + v2a1 - v1a2 = 0    ; A= v2 ; B= -v1 ; C= v2a1 - v1a2
                                              v = (-B,A)
   
                 Ax + By + C = 0

 *Otro método:


Ej: (2,5)     A= v2     B= -v1
                A= 5       B= - 2
              5x - 2y + C = 0
    A(-1,3) : 5*(-1) - 2*3 + C= 0
                     -5 -6 +C = 0
                     C = 11 ;  5x - 2y + 11 = 0


 *Rectas paralelas a los ejes: 

x = a ; v = (0,v2) 


x - a = 0  :  Forma general.

 y = b ; u = (v1,0)


 y - b = 0 :  Forma general.









 5- Ecuación normal de la recta:


r: Ax + By + C = 0
se cumple que n = (A,B) es perpendicular a r. 
  *Demostración: Si r: Ax + By + C = 0


   v = (-B,A)
  n = (A,B)      n  v = -AB + AB = 0


P(p1,p2) es un punto de la recta conocido.
         u = ( x- p1, y - p2) es un vector de la recta.
El punto (x,y) es un punto desconocido.
 La ecuación normal se obtiene:
 n = (A,B)


 n  u = (A,B) * ( x- p1, y - p2) = A( x - p1) + B(y - p2)

   La ecuación normal canónica es:

 6- Ecuación explícita:


Se obtiene la y de la ecuación general, es decir,
      Ax + By + C = 0
        By = - Ax - C
        
y =(-A/B)x - C/B ;  -A/B = m ; -C/B = n


                        y = mx + n

7- Ecuación Pto-pendiente:




 A partir de la continua sacamos:


     v1(y - a2) = v2( x - a1)
    (y - a2) = v2/v1( x - a1)

     y -a2 = m(x - a1)

   v2/v1 = m = tg α








  8- Ecuación segmentaria:

               Q(0,q)  y  P(p,0)
     
        x/p + y/z = 1


Ej:  x/4 + y/8 = 1.

• Posición relativa de dos rectas:

  - 1º Secantes:

1- Comparar los vectores: Si los vectores no son proporcionales.

                                 u ≠ tv   para cualquier t(parámetro)

2- Comparar las pendientes: Si tienen distinta pendiente.

                                     r1: m     r2: m'

                                       m ≠ m'

 3- Comparar las ecuaciones de la recta:  

                           r1: Ax + By + C =0               r2: A'x + B'y + C' =0         

                                                      (A/A') ≠ (B/B')        

- 2º Y 3º Paralelas y coincidentes:

 1- Comparar los vectores:Si los vectores son proporcionales.
                Si existe t tal que  u = tv  
Aunque al comparar dos rectas el parámetro no debe ser igual aunque cumpla la anterior condición porque sino serían coincidentes.
2- Comparar las pendientes: Si tienen la misma pendiente.             m = m'

3- Comparar las ecuaciones de la recta:  

                           r1: Ax + By + C =0               r2: A'x + B'y + C' =0  

                                                        (A/A') = (B/B') ≠ (C/C')

 1- Comparar los vectores:Si los vectores son proporcionales.

                                      u = tv  para cualquier t

2- Comparar las pendientes: Si tienen la misma pendiente.             m = m'

3- Comparar las ecuaciones de la recta:  

                   r1: Ax + By + C =0               r2: A'x + B'y + C' =0  

                                    A/A')  =  (B/B')  =  (C/C')

- Haz de rectas secantes:

Se llama haz de rectas secantes con vértice P(x,y) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por dicho punto.

La ecuación de cualquier recta del haz es:    y - b = m(x - a)

donde m es un parámetro que puede tomar cualquier valor real y también representa la pendiente de cada recta.

La ecuación del haz es:  Ax + By + C + t( A'x + B'y + C' ) = 0

donde t es el parámetro que puede tener cualquier valor real, pero que no representa, en este caso, la pendiente.

- Haz de rectas paralelas:

Se denomina haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0, al conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a dicha recta.

La ecuación de este haz es: Ax + By + t = 0  ; donde t es un parámetro que pertenece a R.

• Distancia entre puntos y rectas:

 1- Distancia entre dos puntos:

Ej:

   d(A,B) = √( 2 -(-3))² + (-4 - 2)² = √61

                                                 

2- Distancia entre un punto y una recta:

La distancia entre un punto y una recta se entiendo como la distancia mínima entre ambos, es decir, la recta perpendicular a r: Ax + By + C = 0 y que pasa por el punto P(x1,y1). La fórmula es:

                                        

 3- Distancia entre dos rectas:

 d(r,s) = 0 en rectas secantes.

 d(r,s) = 0 en rectas coincidentes.

a: Ax + By + C = 0       ;  b: A'x + B'y + C' = 0  en rectas paralelas.

• Ángulo entre dos rectas:

Se denomina ángulo formado por dos rectas al menor de los ángulos que determinan ambas rectas. 

1º A partir de sus vectores directores o normales:

Si u y v son vectores directores.

                                 

2º A partir de la pendiente:

ms = tg α2                        mr = tg α1  

tg α = tg (α2 - α1) = (tg α2 - tg α1) / (1 + tg α2 *tg α1)

            tg α = | (ms - mr )| / (1 + ms*mr)

A partir de aquí se despeja con la arctg del resultado.

*Rectas perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90º. Sus pendientes son inversas y opuestas.

r es perpendicular a s :   mr = -1 / ms 

• Simetrías:

 1- Simetría central: Simetría respecto un punto.

Dado un punto fijo O llamado centro de la simetría, los puntos P y P' son simétricos respecto de O cuando O es el punto medio del segmento de extremos P y P'.

2- Simetría axial: Simetría respecto una recta.

Dada una recta r llamada eje de simetría los puntos A y A' son simétricos en la simetría axial de eje r cuando el segmento AA' es perpendicular a L y también el punto de corte de este segmento con el eje es el punto medio M.

• Lugares geométricos:

Un lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos del plano que  cumplen una misma propiedad.

En un triángulo :

1- Medianas: Baricentro.

2- Alturas: Ortocentro.

3- Mediatrices: Circuncentro.

4- Bisectrices: Incentro.

                         

Unidad 4: Vectores.

Un vector es un segmento orientado que tiene un origen (punto de aplicación) y un extremo.Está compuesto por un módulo o longitud (> 0), una dirección (es la recta en la que se encuentra el vector) y un sentido que va indicado por la flecha. 

Ej:

       Módulo: longitud del segmento AB.

            Origen: Punto A.

            Extremo: Punto B.

            Dirección: La de la recta que lo contiene.

            Sentido: Indicado por la punta de la flecha.

Las magnitudes vectoriales son las que se caracterizan por una cantidad y una dirección, como la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

• Tipos de vectores:

 1- Vectores fijos: Posee una determinada posición, por lo que, no se pueden mover. Tiene su origen en el punto A y su extremo en B.

 2- Vectores equipolentes: Son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. 

 3- Vectores libres:  Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí, es decir, éstos tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Por ejemplo: un vector fijo y todos sus equipolentes.

• Operaciones con vectores:

    1- Suma:

Para sumar dos vectores libres  y  se seleccionan dos vectores representantes que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Método del paralelogramo:  Se toman como representantes dos vectores que tienen su punto de aplicación común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los dos vectores.  

    2- Resta:

La recta de dos vectores libres   y  se lleva acabo colocando            un vector   y en su extremo se coloca - (opuesto).

3- Producto de un número por un vector:    

Dados un vector libre  del plano y un número real  k, se llama producto del número real k por un vector que tiene de módulo |k| | |, la dirección del vector y el sentido de  si k es positivo, y el opuesto si k es negativo. El resultado de todas los operaciones son un vector.

Todos los vectores con la suma y el producto por un número forman un espacio vectorial.

• La base canónica:

                              Ej:


Cualquier vector del plano se puede poner
como combinación lineal de los vectores
 y .

En este ejemplo, se expresaría como  =  5 + 4    y sus coordenadas serían: (5,4).


  1- Cálculo de las coordenadas de un vector a partir de sus extremos:

Por ejemplo, vamos a calculas las coordenadas del vector  a:
Se calcula restando la coordenada x del extremo (punta de la flecha) menos la coordenada x del origen, y la coordenada y del extremo menos la coordenada y del origen, es decir, a = ( 3-(-2), 5-2) = ( 5,3)

• Operaciones con coordenadas:

  1- Suma o resta:

Cogemos dos vectores anteriores, como por ejemplo, el vector a =(5,3) y b =(0,-3).

a + b = ( a1 + b1, a2 + b2) = ( 5 + 0, 3 + (-3) ) = (5,0)

a + (-b) = ( a1 + (-b1), a2 + (-b2)) = ( 5 - 0, 3 - (-3)) = (5, 6)

  2- Módulo:

 |AB| = √x² + y²            | AB| >0

 Ej: √9+2² = √13u

  3- Argumento:

El ángulo que forma el vector con el eje es el argumento, es decir, α.

Tg α = b/a 

*Hay que tener en cuenta el cuadrante en el que estamos trabajando para poner el signo que le corresponde.

  4- Paso de coordenadas a módulo-argumento:

Ej:

  = (4,3) :   || = 5

                 α = arctg (3/4) = 36,8º

*Si el vector estuviese en el tercer cuadrante, posiblemente, la calculadora nos de el resultado positivo en el primer cuadrante, pero estaría mal porque deberíamos pasarlo al tercer cuadrante que es donde se encuentra el vector (180º + α ).

• Producto escalar:

Si  y  son dos vectores. El producto escalar se define

           

                                              

  1- Con coordenadas:

Ej:

A =(2,5)     2i + 5j

B =(-1,3)    -i + 3j

A  B = (2i + 5j) * (-i + 3j) = 2*(-1)[i * i] + 2*3[i * j] + 5*(-1)[j * i] + 5*3[j * j] = -2 + 0 + 0 + 15     = 13

[i * i] = |i||i| cos (i,i) =  1*1 * cos 0º = 1

[i * j] = |i||j| cos (i,j) =  1*1 * cos 90º = 0

[j* i] = |j||i| cos (j,i) =  1*1 * cos 90º = 0

[j * j] = |j||j| cos (j,j) =  1*1 * cos 0º = 1

 

  2- Proyección de A sobre B:

Fórmula:     (A  B) / |B|

  

  3- Ángulo de dos vectores:

Se obtiene despejando el coseno de la fórmula del producto escalar. Pero calculando el coseno no basta, después se calcula el arccos y obtenemos el ángulo(s).

  4- Un vector ortogonal a otro:

 Es cuando dos vectores son perpendiculares entre sí, es decir, forman un ángulo de 90º.

Ésto se comprueba calculando su producto escala cuyo resultado tiene que ser cero para que sean ortogonales entre sí.