La resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones pertenece a la parte de las matemáticas llamada Álgebra. Estas ecuaciones surgen del quehacer cotidiano de la actividad científica en uno de sus principales cometidos: la resolución de problemas.
Los procedimientos de resolución de éstas ocuparon durante muchos años y en diferentes épocas de la historia de la matemática a numerosos matemáticos.
La ciencia usa ecuaciones que expresan una relación entre variables para enunciar de forma precisa leyes.
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay numerosos investigadores se dedican a su estudio.
- Historia:
Los egipcios resolvían los problemas que se presentaban con la repartición de cosechas o de otras cosas como una equivalencia a resolver ecuaciones algebraicas de primer grado ("método de la falsa posición").
En el siglo XV se celebraban desafíos públicos. Un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista.
A mediados del siglo XVI Cardano y Bombelli descubrieron que para resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado tenían que usar números imaginarios. Cardano, enemigo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones de cuarto grado.
En el mismo siglo Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto y las incógnitas por las últimas. Aunque en esta época se enuncian problemas de ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, como el Teorema de Fermat.
Dicho teorema fue propuesto por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta el año 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.
En el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros métodos para resolver ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica.
- Sistemas de ecuaciones:
Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas, representadas por las últimas letras del alfabeto, que conforman un problema matemático que consiste en hallar el valor de las variables y que al reemplazarlas se cumpla la igualdad.
Los sistemas se pueden clasificar de acuerdo con el número de soluciones en:
1. Sistema incompatible: Cuando no tiene ninguna solución, como por ejemplo el siguiente sistema:
x + y - z = 5 Se reducen las ecuaciones hasta obtener un sistema triangular
2x - 3y - z = 3 equivalente. Cuando intentamos llegar a la solución encontramos
3x - 2y - 2z = 5 la igualdad 0 = -3 que nunca se cumple; por lo tanto, el sistema no
tiene solución y es incompatible.
2. Sistema compatible indeterminado: Es aquel que tiene infinitas soluciones, veamos un ejemplo:
2x + y + z = 5 Se reducen las ecuaciones hasta tener un un sistema triangular
2x - y + 3z = 3 equivalente. La ecuación 0 = 0 siempre se cumple así que se puede
3x + 2y +z = 8 prescindir de ella. Nos quedamos con dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que tiene infinitas soluciones, o sea, es compatible indeterminado. Para determinar las soluciones se toma como parámetro a una de las incógnitas, como por ejemplo
z = t. Por tanto la solución del sistemas es: x = 2 - t / y= 1 + t / z =t ---> t pertenece a R
3. Sistema compatible determinado: Es cuando admiten un conjunto finito de soluciones o solución única.
x+ 2y - 3z = 7 Se reducen la segunda y la tercera ecuación retándoles el doble y el
2x + y - z = 6 triple de la primera, respectivamente. De la misma manera se reduce
3x - y - z = 6 la tercera ecuación y, a continuación, se resuelve el sistema obteniendo una solución única, es decir, un sistema compatible determinado.
- Inecuaciones:
Este sería un ejemplo de inecuación de 1º grado.
Este vídeo nos muestra como resolver una inecuación de 2º grado
